How to present mathematical expression in your blog posts

This is a critical problem,especially for those guys who are desired to write something on math or physics in blog posts.Currently there are mainly two alternatives:

1. Write down mathematical expressions in LaTeX and save the text as a ".tex" file.Run "tex2png.pl" or "textogif.pl"(a number of such scripts converting tex to images can be found on Web.Just google,you'll find a lot) to obtain a PNG or GIF which can be inserted to your posts.It is known to all that LaTeX are GOOD at processing math expressions,so don't worry about the quality of images generated.What bother me is that some blog systems,such as Blogger,behave strangely when I try to insert images to my posts.The server loves adding certain HTML codes to adjust the position,margin and so on to its preferences.I'm not familiar with these HTML and CSS tricks,so I never get what I want in Blogger.Finally I canceled this approach.
2. Write mathematical expressions using HTML's special entities.Hm,it does work,more or less,although they look somewhat ugly.Note:prepare yourself to suffer a lot from writing math formulas in HTML.If you decide to take this way,I strongly recommend Math in HTML(and CSS).The article offers everything you will care about in great detail.
3. I'm still waiting for someday when a more simple,elegant method for presenting maths in HTML pages appears and solves all problems.Blogger wolverinex02 implements a LaTeX compiler for blogger,see his page LaTeX for Blogger.The idea seems excellent,but the implementation now still needs some improvements.
   

Poincaré Recurrence Theorem

Poincaré recurrence theorem，翻译过来叫庞加莱回归定理，和统计力学的基础很有关系。用数学语言来叙述就是下面这句话：一个有限测度空间的保测度变换具有无限回归性质。这就比较费解，需要解释一下。测度我们可以大胆地替换为体积(广义的体积，比如相空间中的体积。这也是讨论物理问题的方便之处，在我们被那些数学家编出来的鸟话弄得头疼的时候可以暂时无视数学严密性。) 有限测度空间就是说这个集合本身的体积是有限的(在给定的体积形式下)。保测度变换，就是指这个空间到自身的映射，在这个映射下子集和象的体积相等。

为了说清楚什么是无限回归性质，必须先规定几个记号。用X表示这个测度空间，E表示X的一个子集，用f表示保测度变换，设有x∈E，在f的反复作用下形成一个轨迹f(x), f ²(x), f ³(x), ...。无限回归性质就是说，所有在经过有限次变换后轨迹离开E的点x组成的集合的体积(测度)为0。一个等价的说法是：对任意一点x∈E，只要E的体积大于0，那么x的轨迹中一定有无穷多个点在E中，或者说，x的轨迹会无限次的回到E中。这个定理告诉我们，好马也摆脱不了吃回头草的命运。

下面看这个定理的证明。虽然定理初看起来比较吓人，名头也很大(挂了Poincaré的招牌)，但证明一点都不难，相当简明易懂，只是免不了要多写几个数学式子。我们要证明的是集合P={x∈E|存在一个N，对所有n>N，f ⁿ(x)∉E}的体积为0。考虑其补集：P'={x∈E|对所有N，存在一个n>N使得f ⁿ(x)∈E}，定义A_n=∪_k≥nf ^-k(E)，表示经过至少n次变换后轨迹回到E的点的全体。显然P'=∩_n≥1A_n。也就是说，我们要证明μ(E-∩_n≥1A_n)=0。回头看我们定义的A_n，显然有E⊂A₀，且A_i⊂A_j若i≤j。此外，因为A_i=f ^j-iA_j，根据定理假设中的f保测度，有μ(A_i)=μ(A_j)。因为E-A_n⊂A₀-A_n，故有μ(E-A_n)≤μ(A₀-A_n)=μ(A₀)-μ(A_n)=0，也即对所有n>0，μ(E-A_n)=0。我们马上就得到结论：μ(E-∩_n≥1A_n)=μ(∪_n≥1(E-A_n))=0。That's all。

定理中所说的保测度变换是离散的。对连续变换也有类似的结果。

前面说过，回归定理和统计力学的基础有很大的关系。现在把这个非常数学化的定理翻译到物理语言。考虑一个力学系统，假定其Hamiltonian是有界的，换句话说，正则坐标q和正则动量p都是有界的，这样系统的相空间就具有有限体积(定理只对有限测度空间成立，这个有限性是关键的条件)。力学系统在相空间中的演化由Hamilton方程决定。经典力学中有一条Liouville定理：力学系统的Hamilton演化不改变相空间的体积。也就是说，系统的演化相当于一个保测度变换。这样回归定理的所有条件都满足了，因此我们可以说，系统的相空间上的演化在充分长的时间后可以任意接近于其初始状态。

本文中Poincaré回归定理的陈述和证明来自于PlanetMath.org：Poincaré Recurrence Theorem

iPod

我原来的iPod nano溺水身亡(洗衣服的时候放在兜里没掏出来，在洗衣机里惨遭摧残蹂躏……同志们引以为戒)，尸身至今安详的躺在我的桌上；昨天终于下定决心，再买一个。本想进城买，后来听了同学的意见，和他一块在淘宝网上买。昨晚订的货，今天上午就到了，效率值得表扬，比市场价便宜近300RMB，是日行原装，说明书发票都是日文的。可惜硅胶套没货了，只好自己买。nano 2和一代比起来，外型有些变化，原来是没有抛光的，nano 2看起来更有金属感。其他方面，至今还未有体验。

买书

今天下午在广州路的先锋书店里泡了两小时，买了两本书。遥想当年高中，看闲书是我一大爱好，平均一星期都要买上个一两本，逛书店有如女同胞逛街看衣服，逛是重点，买不买倒是次要了。上了大学，终日与物理数学计算机周旋，慢慢地就不怎么看人文类的书了。有一种说法是物理学到了高层次和人文艺术也是相通的，并举Einstein为例。同时我们也看到，很多物理学家对哲学，确切地说是形而上的玩意，态度都很不屑——比如Feynman。当然这种态度本身也可以说是一种哲学，经验主义的哲学。不管如何，找几本好看的书消磨消磨时间也是不错的。

转了半天，买了一本《上学记》，何兆武先生的回忆录。说实在的，这本书买得有点郁闷，因为浦口的南大书店有卖这本书，倘若不远万里的进城一趟就买这本书回去未免有点舍近求远了。所以又拿了一本《物语日本》，适合我等俗人增加俗气的书，内容也算有趣，加上不少精美插图，可作为居家旅游的消闲读物。