Poincaré Recurrence Theorem

Poincaré recurrence theorem，翻译过来叫庞加莱回归定理，和统计力学的基础很有关系。用数学语言来叙述就是下面这句话：一个有限测度空间的保测度变换具有无限回归性质。这就比较费解，需要解释一下。测度我们可以大胆地替换为体积(广义的体积，比如相空间中的体积。这也是讨论物理问题的方便之处，在我们被那些数学家编出来的鸟话弄得头疼的时候可以暂时无视数学严密性。) 有限测度空间就是说这个集合本身的体积是有限的(在给定的体积形式下)。保测度变换，就是指这个空间到自身的映射，在这个映射下子集和象的体积相等。

为了说清楚什么是无限回归性质，必须先规定几个记号。用X表示这个测度空间，E表示X的一个子集，用f表示保测度变换，设有x∈E，在f的反复作用下形成一个轨迹f(x), f ²(x), f ³(x), ...。无限回归性质就是说，所有在经过有限次变换后轨迹离开E的点x组成的集合的体积(测度)为0。一个等价的说法是：对任意一点x∈E，只要E的体积大于0，那么x的轨迹中一定有无穷多个点在E中，或者说，x的轨迹会无限次的回到E中。这个定理告诉我们，好马也摆脱不了吃回头草的命运。

下面看这个定理的证明。虽然定理初看起来比较吓人，名头也很大(挂了Poincaré的招牌)，但证明一点都不难，相当简明易懂，只是免不了要多写几个数学式子。我们要证明的是集合P={x∈E|存在一个N，对所有n>N，f ⁿ(x)∉E}的体积为0。考虑其补集：P'={x∈E|对所有N，存在一个n>N使得f ⁿ(x)∈E}，定义A_n=∪_k≥nf ^-k(E)，表示经过至少n次变换后轨迹回到E的点的全体。显然P'=∩_n≥1A_n。也就是说，我们要证明μ(E-∩_n≥1A_n)=0。回头看我们定义的A_n，显然有E⊂A₀，且A_i⊂A_j若i≤j。此外，因为A_i=f ^j-iA_j，根据定理假设中的f保测度，有μ(A_i)=μ(A_j)。因为E-A_n⊂A₀-A_n，故有μ(E-A_n)≤μ(A₀-A_n)=μ(A₀)-μ(A_n)=0，也即对所有n>0，μ(E-A_n)=0。我们马上就得到结论：μ(E-∩_n≥1A_n)=μ(∪_n≥1(E-A_n))=0。That's all。

定理中所说的保测度变换是离散的。对连续变换也有类似的结果。

前面说过，回归定理和统计力学的基础有很大的关系。现在把这个非常数学化的定理翻译到物理语言。考虑一个力学系统，假定其Hamiltonian是有界的，换句话说，正则坐标q和正则动量p都是有界的，这样系统的相空间就具有有限体积(定理只对有限测度空间成立，这个有限性是关键的条件)。力学系统在相空间中的演化由Hamilton方程决定。经典力学中有一条Liouville定理：力学系统的Hamilton演化不改变相空间的体积。也就是说，系统的演化相当于一个保测度变换。这样回归定理的所有条件都满足了，因此我们可以说，系统的相空间上的演化在充分长的时间后可以任意接近于其初始状态。

本文中Poincaré回归定理的陈述和证明来自于PlanetMath.org：Poincaré Recurrence Theorem